Himpunan

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

• Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
• Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

1. Metode Roster
   yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
   tanda kurung {...........}
   contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}
2. Metode Rule
   yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya

contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

 ISTILAH-ISTILAH

1.    Elemen (Anggota)                               notasi : Î

setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
elemen/anggota himpunan itu.
contoh:
A ={a,b,c,d}
a Î A (a adalah anggota himpunan A)
e Ï A (e bukan anggota himpunan A)

2.  Himpunan kosong                         notasi : f atau {}
yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
contoh :
A = { x | x² = -2; x riil}
A = f

3.  Himpunan semesta                        notasi : S
yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
contoh :
K = {1,2,3}
S = { x | x bilangan asli } atau
S = { x | x bilangan cacah } atau
S = { x | x bilangan positif } dsb.

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

1. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau É
   
   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
   
   Ditulis : A Ì Bf atau B É A
   
   contoh:
   A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
   maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
   
   ketentuan :
• himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
• himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
• himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }

2. Himpunan sama                                  notasi : =
   
   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
   
   Ditulis A = B
   
   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L
   
   
3. Himpunan lepas                                  notasi : //
   
   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
   
   Ditulis A // B
   
   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B

 OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Gabungan (union)                                    notasi : È
   Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
   A È B = { x | x Î A atau x Î B } 
2. Irisan (intersection)                                notasi : Ç
   Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.
   A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
3. Selisih                                              notasi : -
   Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.
   A - B = { x | x Î A dan x Ï B }
4. Komplemen                                       notasi: A', A^c, A
   Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.
   A' = { x | x Î S dan x Ï A }

SIFAT SIFAT 

1. Komutatif

     A Ç B = B Ç A
     A È B = B È A

 2. Asosiatif

      A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
      A È (B È C) = (A È B) È C

 3. Distributif

      A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
      A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

 4. De Morgan    ____     _     _
                            (A È B)= A Ç B
                              ____     _    _
                            (A Ç B)= A È B

SKEMA BILANGAN

1. Himpunan bilangan asli
   Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
   
   N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan bilangan prima
   Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
   
   P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
   Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
   
   C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
   Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
   
   B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
   Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
   p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
   
   contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6. Himpunan bilangan irasional
   Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
   
   contoh: log 2, e, Ö7
7. Himpunan bilangan riil
   Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
   
   contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8. Himpunan bilangan imajiner
   Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
   
   contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
   Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
   
   contoh: 2-3i, 8+2